3.917 \(\int \frac{(a+b x)^n (c+d x)^2}{x^4} \, dx\)

Optimal. Leaf size=130 \[ -\frac{c (a+b x)^{n+1} (6 a d-b c (2-n))}{6 a^2 x^2}+\frac{b (a+b x)^{n+1} \left (6 a^2 d^2-6 a b c d (1-n)+b^2 c^2 \left (n^2-3 n+2\right )\right ) \, _2F_1\left (2,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{6 a^4 (n+1)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1}}{3 a x^3} \]

[Out]

-(c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(3*a*x^3) - (c*(6*a*d - b*c*(2 - n))*(a + b*x)^(1 + n))
/(6*a^2*x^2) + (b*(6*a^2*d^2 - 6*a*b*c*d*(1 - n) + b^2*c^2*(2 - 3*n + n^2))*(a +
b*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(6*a^4*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.230144, antiderivative size = 130, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 3, integrand size = 18, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.167 \[ -\frac{c (a+b x)^{n+1} (6 a d-b c (2-n))}{6 a^2 x^2}+\frac{b (a+b x)^{n+1} \left (6 a^2 d^2-6 a b c d (1-n)+b^2 c^2 \left (n^2-3 n+2\right )\right ) \, _2F_1\left (2,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{6 a^4 (n+1)}-\frac{c^2 (a+b x)^{n+1}}{3 a x^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^4,x]

[Out]

-(c^2*(a + b*x)^(1 + n))/(3*a*x^3) - (c*(6*a*d - b*c*(2 - n))*(a + b*x)^(1 + n))
/(6*a^2*x^2) + (b*(6*a^2*d^2 - 6*a*b*c*d*(1 - n) + b^2*c^2*(2 - 3*n + n^2))*(a +
b*x)^(1 + n)*Hypergeometric2F1[2, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(6*a^4*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 17.4725, size = 105, normalized size = 0.81 \[ - \frac{c^{2} \left (a + b x\right )^{n + 1}}{3 a x^{3}} - \frac{c \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (6 a d - b c \left (- n + 2\right )\right )}{6 a^{2} x^{2}} + \frac{b \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (6 a^{2} d^{2} - b c \left (- n + 1\right ) \left (6 a d - b c \left (- n + 2\right )\right )\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 2, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle |{1 + \frac{b x}{a}} \right )}}{6 a^{4} \left (n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**n*(d*x+c)**2/x**4,x)

[Out]

-c**2*(a + b*x)**(n + 1)/(3*a*x**3) - c*(a + b*x)**(n + 1)*(6*a*d - b*c*(-n + 2)
)/(6*a**2*x**2) + b*(a + b*x)**(n + 1)*(6*a**2*d**2 - b*c*(-n + 1)*(6*a*d - b*c*
(-n + 2)))*hyper((2, n + 1), (n + 2,), 1 + b*x/a)/(6*a**4*(n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.135124, size = 143, normalized size = 1.1 \[ \frac{\left (\frac{a}{b x}+1\right )^{-n} (a+b x)^n \left (c (n-1) \left (c (n-2) \, _2F_1\left (3-n,-n;4-n;-\frac{a}{b x}\right )+2 d (n-3) x \, _2F_1\left (2-n,-n;3-n;-\frac{a}{b x}\right )\right )+d^2 \left (n^2-5 n+6\right ) x^2 \, _2F_1\left (1-n,-n;2-n;-\frac{a}{b x}\right )\right )}{(n-3) (n-2) (n-1) x^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x)^2)/x^4,x]

[Out]

((a + b*x)^n*(d^2*(6 - 5*n + n^2)*x^2*Hypergeometric2F1[1 - n, -n, 2 - n, -(a/(b
*x))] + c*(-1 + n)*(2*d*(-3 + n)*x*Hypergeometric2F1[2 - n, -n, 3 - n, -(a/(b*x)
)] + c*(-2 + n)*Hypergeometric2F1[3 - n, -n, 4 - n, -(a/(b*x))])))/((-3 + n)*(-2
+ n)*(-1 + n)*(1 + a/(b*x))^n*x^3)

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.073, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{n} \left ( dx+c \right ) ^{2}}{{x}^{4}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^4,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x+c)^2/x^4,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{4}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^4, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{2} x^{2} + 2 \, c d x + c^{2}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{4}}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^2*x^2 + 2*c*d*x + c^2)*(b*x + a)^n/x^4, x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 27.4288, size = 5367, normalized size = 41.28 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**n*(d*x+c)**2/x**4,x)

[Out]

a**4*b**3*b**n*c**2*n**4*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)
/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*ga
mma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a**4*b**3*b**n*c**2*n**3
*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) +
18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3
*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - a**4*b**3*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)
/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*ga
mma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - a**4*b**3*b**n*c**2*n**2*(
a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 1
8*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(
a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 3*a**4*b**3*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)
/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*ga
mma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 2*a**4*b**3*b**n*c**2*n*(a
/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18
*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a
/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a**4*b**3*b**n*c**2*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12
*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(
n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 6*a**4*b**3*b**n*c**2*(a/b + x
)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**
2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + a**3*b**4
*b**n*c**2*n**4*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a*
*7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n +
2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a**3*b**4*b**n*c**2*n**3*x*(a/b
+ x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a
**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b
+ x)**3*gamma(n + 2)) - a**3*b**4*b**n*c**2*n**3*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(1
2*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma
(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - a**3*b**4*b**n*c**2*n**2*x*(a
/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18
*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a
/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 3*a**3*b**4*b**n*c**2*n**2*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1
)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*g
amma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 2*a**3*b**4*b**n*c**2*n*x
*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) +
18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3
*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a**3*b**4*b**n*c**2*n*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1
)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*g
amma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 6*a**3*b**4*b**n*c**2*x*(
a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a
**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*
a**3*b**2*b**n*c*d*n**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/
(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma
(n + 2)) + 2*a**3*b**2*b**n*c*d*n**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n
+ 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*a**3
*b**2*b**n*c*d*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**
5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)
) - 2*a**3*b**2*b**n*c*d*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a
**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 4*a**3*b**2*b**n
*c*d*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) +
2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 3*a**2*b**5*b**n*c**2*n**4*(a/b + x)**
2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2)
+ 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**
3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 6*a**2*b**5*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**2*(a/b + x)
**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b
*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)
**3*gamma(n + 2)) + 2*a**2*b**5*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*gamma(n
+ 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)*
*2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 3*a**2*b**5*b**n*c**2
*n**2*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a
**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n
+ 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 5*a**2*b**5*b**n*c**2*n**2*(a/b
+ x)**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n +
2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n +
2)) - 6*a**2*b**5*b**n*c**2*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1,
n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b
**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - a**2*b*
*5*b**n*c**2*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18
*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a
/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 6*a**2*b**5*b**n*c**2*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*gamma
(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x
)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a**2*b**3*b**n*c*
d*n**3*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(
n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*a*
*2*b**3*b**n*c*d*n**2*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4
*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*a**2*b**3*b**n*c*
d*n*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n +
2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a**2*
b**3*b**n*c*d*n*x*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*g
amma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 4*a**2*b**3*b**n*c*d*x*(a
/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3
*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 3*a*b**6*b**n*c**2*n**4*(a/b + x)**3*(a/b + x
)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*
b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x
)**3*gamma(n + 2)) - 6*a*b**6*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*lerchphi(
1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n +
2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n +
2)) - a*b**6*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gam
ma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) +
6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 3*a*b**6*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**3*(a
/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18
*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a
/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 2*a*b**6*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*gam
ma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b +
x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 6*a*b**6*b**n*c**
2*n*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**
7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n +
2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + a*b**6*b**n*c**2*n*(a/b + x)**3*(a
/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a*
*5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*a
*b**6*b**n*c**2*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 1
8*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(
a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 4*a*b**4*b**n*c*d*n**3*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*ler
chphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma
(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 2*a*b**4*b**n*c*d*n**2*(a/b +
x)**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2)
+ 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - 4*a*b**4*b**n*c*d*n*(a/b + x)**2*(a/
b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a
**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) + 2*a*b**4*b**n*c*
d*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamm
a(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2)) - b**7*b**n*c**2*n**4*(a/b + x
)**4*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n +
2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*
b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) + 2*b**7*b**n*c**2*n**3*(a/b + x)**4*(a/b + x)**
n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x
*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**
3*gamma(n + 2)) + b**7*b**n*c**2*n**2*(a/b + x)**4*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x
/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18
*a**5*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) -
2*b**7*b**n*c**2*n*(a/b + x)**4*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma
(n + 1)/(12*a**7*gamma(n + 2) + 18*a**6*b*x*gamma(n + 2) - 18*a**5*b**2*(a/b + x
)**2*gamma(n + 2) + 6*a**4*b**3*(a/b + x)**3*gamma(n + 2)) - 2*b**5*b**n*c*d*n**
3*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(-2*a**5*
gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)**2*gamma(n + 2))
+ 2*b**5*b**n*c*d*n*(a/b + x)**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamm
a(n + 1)/(-2*a**5*gamma(n + 2) - 4*a**4*b*x*gamma(n + 2) + 2*a**3*b**2*(a/b + x)
**2*gamma(n + 2)) + b**n*d**2*n**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*ga
mma(n + 1)/(x*gamma(n + 2)) + b**n*d**2*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n
+ 1)*gamma(n + 1)/(x*gamma(n + 2)) - b**n*d**2*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(x*ga
mma(n + 2)) - b**n*d**2*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(x*gamma(n + 2)) + b*b**n*d**2
*n**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) +
b*b**n*d**2*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(
n + 2)) - b*b**n*d**2*n*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b*b**n*d**2
*(a/b + x)**n*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b**2*b**n*d**2*n**2*(a/b + x)**2*(
a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/(a**2*x*gamma(n + 2)) - b
**2*b**n*d**2*n*(a/b + x)**2*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n
+ 1)/(a**2*x*gamma(n + 2))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x + c\right )}^{2}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x^{4}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^4,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^2*(b*x + a)^n/x^4, x)